Traum der Sophomores

Der Traum der Sophomores ist die Bezeichnung für zwei Identitäten, die ursprünglich von Johann I Bernoulli stammen.

Die Identitäten lauten:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x}^{-x}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\approx 1{,}29128599706266354}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x}^{x}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\approx 0{,}7834305107121344}$

Im Integral steht die Tetrationfunktion zweiter Ordnung ${\displaystyle x^{x}}$, das heißt die Potenz mit gleicher Zahl in Basis und Exponent (der ersten Stufe iterierter Potenzierung bzw. des Potenzturms).

Die Bezeichnung Sophomore steht für Studenten im zweiten Studienjahr. Die Identitäten wurden von Johann I Bernoulli im Jahre 1697 entdeckt und die Bezeichnung Traum der Sophomores (englisch: Sophomore's Dream) stammt aus einem Buch von Jonathan Borwein, David H. Bailey und Roland Girgensohn. Sie spielt auf die im Allgemeinen inkorrekte Freshman-Gleichung an (Freshman ist ein Student im ersten Semester) ${\displaystyle {(x+y)}^{n}=x^{n}+y^{n}}$.